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刨根问底(2):一切皆归于心【连载06】
来源:智悲佛网 日期:2016-06-08 浏览量:1458

 

八、“寒塘渡鹤影”—— 数学领域的证明


我们在物理学领域畅游了一番后,原本准备直接走向结论。而数学,仅仅作为一个辅助性表述。然而,这几天,随着我的数学知识从零到一点点积累,我忽然发现,数学领域早已经用数学自己的方法,得出了同样的结论。在我看来,数学和物理学犹如自然科学王国的国王和王子、钢琴和小提琴;如果不对数学领域作一次浏览,将是非常大的缺憾。

早在古希腊和罗马,毕达哥拉斯奠定了数学自身的基础,和解释世界的哲学地位。据说,他小时候,有一次背着柴禾上街,有一位长者见到后,说:从你捆柴禾的方法看,你很有数学天分,你长大后会成为一个了不起的学者。毕达哥拉斯不仅有天分,而且有着另外一个成功必须的重要禀赋:魄力。他扔掉柴禾,渡海去向著名的学者求学。在老师的引导下,他的数学天赋很快完全展现,他发现并定义了一大堆可以称为数学大厦基础的数学定理和数学现象,当然最为著名的是“勾股定理”。

后来,他的兴趣向哲学拓展,创立了毕达哥拉斯学派。他的基本哲学思想是:世界是数。世界的一切现象,都可以用数和数的关系来表达。

就在200年后,另外一个富有天分的青年数学家,毕达哥拉斯学派的门徒:希伯斯,发现了无理数:无限不循环小数。古希腊人们曾经信仰,世界的一切都是确定的。所以所有的数,都可以写为一个分子和分母都是整数的分数形式。比如:整数2,可以写为:2/1;有限小数2.1可以写为21/10;而循环小数2.,可写为19/9

希伯斯发现,边长为1的等腰直角三角形的斜边 ,即,是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的将无法得到一个确切的空间位置。毕达哥拉斯为大家描绘的井井有条的具有优雅的数学结构的世界,突然变得不确定和丑陋了。

希伯斯被愤怒的同门学长们扔进大海,再也没有浮出水面。但是无理数却很快被人们所确认了。至今为止,我们所知道的无理数,包括大多数自然数的开2次方;,这个至今都在困扰人们的著名的圆周率;还有著名的常数e

无理数,引发了第一次数学危机。它暗示:世界的奥秘隐藏在“极限”概念中。

十七世纪,牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。微积分在应用中取得极大的成功,至今仍旧在各个领域发挥巨大的作用。但是它的基础建立在一个非常矛盾的基础上:Δx = 0并且 Δx ≠0

这就是第二次数学危机。

到了19世纪,柯西用“严格”的科学方式,定义了微积分的基础:极限,看似解决了这个难题。他的方法是:

定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε

(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,  |Xn - a|<ε

 都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a

记为   lim Xn = a Xnan→∞)

除非,你是数学系的,否则请直接跳过刚才这段公式。霍金在《时间简史》中说,每增加一个方程式,科普文章的魅力和可读性将减少一半。

我们需要知道的是:柯西用了“给定”、“总存在”、“收敛于”这几个非常科学、非常严谨的用词,来准确定义“无限小”这个概念。这就是柯西极限被人们赞叹的原因。

然而仔细观察柯西极限,我们看到,其实,这就是把牛顿比较朴素的微积分,作了一个精细的包装。其实它的内容和涵义没有改变。

在柯西概念中,无限小收敛于零,有两个性质:一方面,无论如何趋近于零,但是永远不会等于零;另一个方面,经过包装后,有了“给定”“存在”“收敛于”这样的学术用语,特别是“收敛于”这个貌似非常堂皇的封号,它开始名正言顺地在各种积分运算中,以“零”的代言人不断出现。根据不同的需要,极限一会儿等于零,一会儿不等于零。就像一个人身上带着两张名片,不同场合切换使用,左右逢源。

而康托尔的集合论,通过集合与集合的对应关系,把极限的难题,从线段关系,推向了二维乃至多维空间关系。但是从对应关系推出的“局部等于整体”的结论,使康托尔的朴素集合论面临一个新的矛盾,即“理发师”悖论所提出的:某个集合,既是自己,又不是自己。这就是第三次数学危机。迄今为止,它已经衍生出三大现代数学流派,各自都获得了非常瞩目的成绩,但都是现象学和应用学层面上的。对于关系到实相层面的,问题始终没有解决。

纵观整个数学史,在关于“无限”概念的领域中,最基本的难题始终困扰人们。三次数学危机,本质上都是一样的,这方面似乎没有真正的进展。

虽然,人们一再宣布,已经解决了前人的难题,就像人们一再宣称解决了芝诺悖论一样。但是,实际上,他们只是通过更加复杂的表述方式,或者更加高级的定理,来转移矛盾。这种解决的方案,就像“奥运火炬”。矛盾本身没有改变,也没有熄灭。但是它不断在人们的手中接力,从而不断转换阵地,以逃避当地的审查。这就像火车上的逃票游戏,或者像中国的“超生游击队”一样。一个更加形象的比喻是中国孩子经常玩的“击鼓传花”游戏或者“丢手帕”游戏。

这样的情况在科学史上一再重复。这种现象,我们可以称为“奥运火炬”现象,或者“接力棒”现象,或者“丢手帕”现象。

那么,如何真正解答这个基础性的难题呢?

在计算机算法中,有一个基本的算法,叫“回溯法”。它是一种有次序的穷举方法。比较典型的题目,就是走迷宫。为了走出迷宫,我们从起点出发,每到一个岔路口,就标记上(1), 然后选择一个路口往前探索,到了下一个岔路口时,再标记(2),再选择其一继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了,就是有解。如果此路不通,就回头穷尽其他的可能性。

“回溯法”的一个重要思路是:当我们在某一个方向上始终走不通的时候,我们必须回到之前的假设上,换一个可能性,重新探索。如果还不行,则要回到更前的假设上,探索其他可能性。

“回溯法”是自然科学史上最重要的方法。每一次划时代的新发现或者新理论,都是回到基本的假设上,推翻似乎那么不容置疑的“常识”,换一个可能性进行探索,只要它在逻辑上合理和自洽。

由于每一次重大的回溯,都是进入一条完全崭新的路,所以,每一次重大的回溯,都会带来一次潮涌般的变革,从未走过的新路上各种新景色让人眼花缭乱。

“回溯法”最大的障碍,是人们顽固的“常识”。为了打破成见,我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典、富有哲理性的话:“我的方法,就建立在这样一种假设上面:当你把一切不可能的结论都排除之后,那剩下的,不管多么离奇,也必然是事实。”(《新探案‧皮肤变白的军人》)”

 数学三大危机,已经非常明显地告诉人们,最基本的矛盾,在最初的假设上。所以,必须利用回溯法解决问题。固执地按照旧的方向往前,只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。

那么,我们应该回到哪里去呢?

回到牛顿!

牛顿说:Δx = 0 并且 Δx≠ 0

       这个结论看似非常矛盾。但是“看似”矛盾,并不真的一定矛盾。就像量子力学史上,海森堡发现p+qq+p。我们要敢于去验证这个结果。如果这个结果非常可靠,那么不管多么违反我们的常识,我们也要敢于去揭开它的面纱,了解面纱背后的真正涵义!

(未完待续)



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